平面向量的基本定理及坐标表示-平面向量基本定理

其坐标为(a,0)。若e₂在第一象限，则其坐标为(a,b)。通过构造投影向量，我们巧妙地将抽象的线性系数转化为具体的坐标数值，实现了从几何图形到代数算式的直接过渡。这种转换不仅是解题的捷径，更是挖掘图形内在联系的关键工具。

这一过程实际上构建了一个完整的闭环：定理提供了逻辑前提，坐标提供了计算手段。对于备考学生来说，将这两者紧密结合，能够建立起严密的思维链条，从而在面对复杂情境时不被干扰，直击要害。

具体解题策略与案例演练

步骤一：判断基底是否合规。在任意向量问题中，首要任务是检查所给的两个向量是否共线。若e₁=vec{a}, e_2}=vec{b}共线，则无法直接建立唯一线性关系，需寻找其他不共线向量作为基底，或拆分向量。只有当基底独立时，才能放心使用se₁+te₂=vec{c}的格式进行后续运算。

• 平面内的线性组合。若已知向量vec{a}, vec{b}，目标向量为vec{c}，且已知vec{c} = lambda e₁ （λ为已知常数），若已知e₁方向与e₂方向垂直，则只需计算vec{c}在e₁方向上的投影长度即可。
• 向量共线与点共线的判定。若vec{AB} = lambda vec{DE}，则点A、B、D、E四点共线。这是解决几何位置关系问题的通用判定法则。
• 倍向量的投影问题。若vec{AB} = lambda vec{AC} &i且vec{AB}perpvec{AC}，则vec{AB} = tan angle BAC vec{AC}，此时vec{AC}的坐标即为tan angle BAC vec{AB}的坐标。

以题目为例：在平面直角坐标系中，已知vec{a} = (1, 2), vec{b} = (3, 1)，若vec{d} = x vec{a} + y vec{b}，且vec{d} perp vec{a}，求x+y的值。

首先判断vec{a} cdot vec{b} = 1times3 + 2times1 = 5 ne 0，故不共线，可作为基底。由vec{d} cdot vec{a} = 0，代入得：

$x(1times1 + 2times2) + y(3times1 + 1times2) = 0$

$x + 6 = 0 implies x = -6$

代入vec{d} = -6 vec{a} + y vec{b}，结合vec{d} perp vec{a}的条件，利用投影公式：

$vec{b} cdot vec{a} = tan theta cdot |vec{a}|^2 = tan theta cdot 5$

而vec{b} = (3, 1)，故其投影系数为$frac{3}{5} ne 0$，此路不通，需换思路。

重新审视：

若vec{d} parallel vec{a}$，则vec{d} = lambda vec{a}$。

$vec{d} = x vec{a} + y vec{b} = lambda vec{a}$

由于vec{a}, vec{b}不共线，得y=0

$vec{d} = x vec{a} + 0 vec{b} = lambda vec{a} implies x=lambda$

又vec{d} perp vec{a}$，则vec{d} cdot vec{a} = 0$

$(x vec{a} + y vec{b}) cdot vec{a} = 0 implies x |vec{a}|^2 + y (vec{b}cdotvec{a}) = 0$

$x cdot 5 + 0 = 0 implies x = 0$

故vec{d} = vec{0}$，此时vec{d} parallel vec{a}$且|i>vec{d}|=0$

此题需结合具体数值计算，如vec{c} = (2, 3)，若vec{c} = m vec{a}$，则vec{c} parallel vec{a}$，且vec{c} = (2, 3)$，故vec{c} = (2/5)(1, 2) + (3/5)(3, 1)，解得m=1$。