闭区间套定理例题-闭区间套求根例题

例题一：简单收敛性判定

已知闭区间套定理序列 ${[a_n, b_n]}$ 满足 $1 le a_n le a_{n+1} le dots$，$1 le a_n le b_n le dots$，$lim_{n to infty} b_n = 2$，且 $lim_{n to infty} b_n - a_n = 0$。若 $x_n = frac{a_n + b_n}{2}$，证明 $lim_{n to infty} x_n = 1$。

分析过程：首先验证区间套条件，由 $a_n le a_{n+1}$ 知左边界递增，由 $b_n le b_{n+1}$ 知右边界递增，故满足闭区间套定理的所有前提。已知 $x_n$ 为区间中点，且 $b_n - a_n to 0$，说明区间宽度趋于零。根据定理，任何在最终区间 $[1, 2]$ 内的点 $x$ 均为某子列极限，但这里需更精确地结合给定条件。由 $a_n le x_n le b_n$ 且 $lim a_n = 1, lim b_n = 2$，可得 $1 le lim x_n le 2$。然而题目给出 $x_n$ 的递推形式 $x_n = frac{a_n + b_n}{2}$，代入边界值得 $x_n = frac{1 + 2}{2} = 1.5$，但这并非极限值。重新审视题目意图，若 $a_n to 1$ 且 $b_n to 2$ 且 $x_n$ 为中点，则 $x_n to 1.5$。若要求极限为 1，则需 $b_n to 2$ 不成立，或题目隐含 $x_n$ 从靠近 $1$ 的一侧逼近。修正思路：若 $b_n to 2$ 且 $a_n to 1$，则 $x_n to 1.5$。若要极限为 1，需 $b_n to 2$ 时 $a_n to 1$ 且 $x_n$ 受限于 $a_n$。此处假设题目为证明 $x_n to 1.5$ 或类似结论，但根据标准命题，若 $a_n to 1, b_n to 2$，则 $x_n to 1.5$。若题目要求证明 $x_n$ 收敛于最终区间 $[1, 2]$ 内的某点，则直接由 $a_n le x_n le b_n$ 及极限性质得出。

结论：由 $a_n le x_n le b_n$ 及 $a_n to 1, b_n to 2$，得 $1 le lim x_n le 2$，故极限存在且位于 $[1, 2]$ 内。

例题二：利用定理确定极限值

已知数列 ${x_n}$ 满足 $1 le x_1 le x_2 le dots$，且对任意 $n$，存在闭区间 $[1/n, 2]$ 使得 $x_n in [1/n, 2]$，且 $x_{n+1} le x_n le x_{n-1}$ 等。证明 $lim_{n to infty} x_n = 1$。

分析过程：由于 $x_n ge 1/n$ 且 $n to infty$，故 $lim_{n to infty} x_n ge 0$。由于 $x_n le 2$，故 $lim_{n to infty} x_n le 2$。这说明极限存在，设为 $L in [0, 2]$。根据闭区间套定理的推论，若 $x_n$ 严格递减且有下界，则 $x_n$ 收敛。题目条件 $x_{n+1} le x_n$ 表明数列单调递减。由 $x_n ge 1/n$ 可知，当 $n to infty$ 时，$1/n to 0$，即 $x_n$ 下方趋于 0。
因此，$lim_{n to infty} x_n ge 0$。结合单调递减与下界，极限存在。若 $x_n in [1/n, 2]$ 且 $x_{n+1} le x_n$，则 $x_n$ 的左边界 $1/n$ 趋于 0，这意味着 $x_n$ 可能收敛于任何小于等于 2 的值，除非 $x_n ge 1$ 等额外条件。若题目隐含 $x_n ge 1$，则 $lim x_n ge 1$。综上，若 $x_n ge 1$ 且递减，则 $lim x_n = 1$。此例展示了如何利用闭区间套定理将不等式转化为极限存在的判定。